4 个，选 C

1. 10 能被 a 整除，对应 10÷a 是整数，不是 a÷10。
2. 按本章正因数口径，将 10 配对：1×10、2×5。
3. 列得 1、2、5、10，共 4 个，选 C。

正因数如过程；公因数 1、2、3、6

1. 按正因数口径：24 的因数对为 1×24、2×12、3×8、4×6。
2. 30 的因数对为 1×30、2×15、3×10、5×6。
3. 分别展开为 1、2、3、4、6、8、12、24 和 1、2、3、5、6、10、15、30。
4. 取交集得到 1、2、3、6。12 不能整除 30，不能放进共同部分。

通常旋转视为相同时 4 种；区分方向时 8 种

1. 将小正方形按整齐的行、列排列，行数×列数=24。
2. 从较小行数枚举：1×24、2×12、3×8、4×6。到下一组 6×4 时已重复。
3. 旋转视为相同，共 4 种；若有序行列排列也区分方向，则共有 8 种。

b−a=(k−1)a，是 a 的倍数

1. a 能整除 b，表示存在整数 k，使 b=ka。
2. 代入可得 b−a=ka−a=(k−1)a。
3. k 是整数，所以 k−1 也是整数。b−a 是 a 的整数倍，命题成立。

3 次

1. 设剩下一人的次数为 x。已知 13 人的总人次为 8×6+5×3=63。
2. 每次舞计入两人的记录，63+x 必须是偶数，因此 x 为奇数。
3. 不含未知者的那一性别，其每人次数都是 3 的倍数，所以该性别的总次数是 3 的倍数。
4. 男女总次数相等；另一性别已知 6 人的次数也都是 3 的倍数。因此两者相减得到的 x 必须是 3 的倍数。
5. 每个人最多有 7 个不同异性舞伴，所以 0≤x≤7。范围内既是奇数又是 3 的倍数，只有 3。

6248、6446、6644、6842

1. 设四位数为 6a4b，其中 a、b 为 0～9 的数字，b 为偶数。
2. (6+4)−(a+b)=10−a−b，在 −8～10 之间，唯一可能的 11 的倍数是 0。
3. 因此 a+b=10。按 b=0、2、4、6、8 枚举，b=0 时 a=10 不是数字，其余分别得 a=8、6、4、2。
4. 从小到大为 6248、6446、6644、6842；分别等于 11×568、11×586、11×604、11×622，且均为偶数。

103、105、107、109

1. 平均数为 424÷4=106，它位于中间两个奇数之间。
2. 四个数依次为 106−3、106−1、106+1、106+3，即 103、105、107、109。
3. 验证它们均为奇数、相邻差 2，总和 424。

先报 6，此后每次与对方合计报 9

1. 你希望自己报完后的累计数为 123，前一个可控制的累计数是 123−9=114，再向前是 105、96……、6。
2. 123=9×13+6，所以第一次报 6。
3. 之后对方报 x（1≤x≤8），你报 9−x，也一定在 1～8 内，每两次累计增加 9。
4. 你每次报完后的总和依次为 6、15、24……114、123。到 114 时对方最多加 8 到 122，你能补到 123 获胜。

偶数

1. 设答对 x 道，答错 20−x 道。
2. 总分=5x−(20−x)=6x−20=2(3x−10)，一定是偶数。
3. 也可理解为每题贡献 5 或 −1，均为奇数，20 个奇数之和为偶数。全部作答是必要条件。

14

1. 119=7×17。a+b≥4 且为正数，c−b 也为正整数，所以 a+b 可能是 7、17、119。
2. 这些值都是奇数，因此 a、b 中一个为 2。若和为 17，另一数是 15，不是素数；若和为 119，另一数 117 也不是素数。
3. 故 a+b=7，a、b 为 2 和 5，且 c−b=17。
4. 若 b=5，则 c=22 不是素数；所以 b=2、a=5、c=19。
5. c−a=19−5=14。

通常交换加数不重复计数时 8 个；有序时 16 个

1. a、b 不可能都是奇数；若都是 2，则和 4 不是素数。因此一个加数为 2，另一个为奇素数 p。
2. 要求 p 与 p+2 都为 100 以内素数。依次筛选得到 p=3、5、11、17、29、41、59、71。
3. 算式为 2+3=5、2+5=7、2+11=13、2+17=19、2+29=31、2+41=43、2+59=61、2+71=73。
4. 若交换两个加数不重复计数，共 8 个；若把 a、b 的顺序区分，共 16 个。

12 个

1. 设两个空格为 a、b，均可为 0～9。数字和为 5+a+b+4=9+a+b。
2. 因此 a+b 是 9 的倍数，可能为 0、9、18。
3. a+b=0 只有 (0,0)；a+b=9 有 (0,9)、(1,8)……(9,0)，共 10 对；a+b=18 只有 (9,9)。
4. 空格位置不同应区分，例如 5094 和 5904 是两个不同数。总计 1+10+1=12。

3948

1. 设为 3a4b。为使数最大，先试最高的空位 a=9。
2. 偶数个位可选 8、6、4、2、0，从大到小检查。
3. 当 b=8 时数字和 3+9+4+8=24，是 3 的倍数，因此 3948 同时满足两个条件。
4. a 已最大，b 也取到了最大偶数，所以没有更大的合适数。

63072、63972

1. 由保留第二、四位得到 37，原数写成 a3c7e。
2. 去掉后三位留下 a3，能被 9 整除，a+3 为 9 的倍数。a 是 1～9，故 a=6。
3. 去掉前三位留下 7e，能被 9 整除，7+e 为 9 的倍数。e 是 0～9，故 e=2。
4. 整个数数字和为 6+3+c+7+2=18+c，能被 9 整除，所以 c=0 或 9。
5. 全部答案为 63072、63972。两者前两位都是 63，后两位都是 72，且整体数字和分别是 18、27。

素因子按重复次数为 4 个、按不同种类为 3 种；正因数共 12 个

1. m=90=2¹×3²×5¹。不同素数是 2、3、5，共 3 种；若按分解中重复出现的素因子计，共 4 个。
2. 每个正因数可写成 2ᵃ3ᵇ5ᶜ，其中 a=0 或 1，b=0、1 或 2，c=0 或 1。
3. 选择数共有 2×3×2=12，分别为 1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90。

n

1. m÷n=7 等价于 m=7n。
2. n 同时整除 n 和 m，是公因数；任何公因数又必须整除 n，不可能比 n 大。
3. 所以最大公因数为 n。比值 7 不是一般情况下的最大公因数。

75，选 A

1. 同时被 3、5 整除，就是 15 的倍数。
2. 100 以内的正倍数为 15、30、45、60、75、90。
3. 只保留奇数 15、45、75，其中最大是 75。90 虽然更大，但为偶数。

75 个

1. 记 Lₙ=lcm(1,…,n)，Rₙ=Lₙ/n!。n! 表示 1×2×…×n。
2. Lₙ=Lₙ₋₁×n/gcd(Lₙ₋₁,n)，所以 Rₙ/Rₙ₋₁=1/gcd(Lₙ₋₁,n)。
3. n 为素数时，1～n−1 都不含质因子 n，gcd(Lₙ₋₁,n)=1，因此 Rₙ=Rₙ₋₁。
4. n 为合数时，有质因子 p<n；p 已在 Lₙ₋₁ 中，故最大公因数至少为 p>1，因此 Rₙ<Rₙ₋₁。
5. 2～100 的 25 个素数为 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。99 个整数中合数有 99−25=74 个。
6. R₂ 是第一个值；此后每遇一个合数增加一个严格更小的新值，素数不增新值，共 1+74=75。

5、6、7 岁

1. 210=2×3×5×7，将 2×3 合并成 6，得到 5×6×7。
2. 5、6、7 是连续正整数，乘积为 210，满足全部条件。
3. 若最小年龄小于 5，三数乘积最多 4×5×6=120；若最小年龄大于 5，乘积至少 6×7×8=336。因此只有这一组。

33

1. 如果 m、n 都是奇素数，则 5m、3n 都为奇数，两者和为偶数，不可能等于 103。
2. 所以至少有一个是 2；两者同时为 2 时和为 16，也不符合。
3. 若 m=2，则 3n=93，n=31，是素数。
4. 若 n=2，则 5m=97，m 不是整数，排除。
5. 因此 m+n=2+31=33。

B；②⑤

1. ①错，1既非素数也非合数；②对。
2. ③错，例如8和9互素且都是合数；④错，0没有倒数；⑤对。
3. 正确的是②⑤，共2条，选B。

75

1. 每个数都是 d 的正整数倍，因此 d 整除 2025，且每个数至少为 d。
2. 26d≤2025，所以 d≤77（d 是整数）。
3. 2025=3⁴×5²。小于等于 77 的最大因数是 75：76、77 都不能整除 2025，75 可以。
4. 取 25 个 75 和 1 个 150：25×75+150=2025，恰有 26 个正整数，最大公因数为 75。
5. 因此上界可以达到，答案为 75。

12；68；14

1. 24、60 同除 2 得 12、30，再除 2 得 6、15，再除 3 得 2、5，余下互素。最大公因数 2×2×3=12。
2. 68、136 同除 2 得 34、68，再除 2 得 17、34，再除 17 得 1、2。最大公因数 2×2×17=68。
3. 14、42、56 同除 2 得 7、21、28，再除 7 得 1、3、4。三数已无大于 1 的公因数，答案 2×7=14。

整数厘米边长可为 1、2、3、6；最大为 6 厘米

1. 若按课内沿边整齐裁切、边长为整数厘米的模型，边长 d 必须同时整除 42 和 30。
2. 42=2×3×7，30=2×3×5，最大公因数为 2×3=6。
3. 全部正公因数为 1、2、3、6，因此这四种整数边长都可行；若问最大边长，则是 6 厘米。
4. 最大边长方案中，长边排 42÷6=7 块，宽边排 30÷6=5 块，共 35 块，检查没有余料。

18 人

1. 人数 n 应整除 35+1=36、56−2=54、69+3=72。
2. 36=2²×3²，54=2×3³，72=2³×3²。
3. 三数最大公因数为 2×3²=18，所以人数最多是 18。
4. 验证：18 人每人 2 本需 36 本，35 本差 1；每人 3 本需 54 本，56 本剩 2；每人 4 本需 72 本，69 本差 3。

8 米；26 面

1. 80=2⁴×5，24=2³×3，最大公因数 2³=8，最大间距 8 米。
2. 周长=(80+24)×2=208 米。
3. 沿闭合一圈共 208÷8=26 个间隔，旗的数量也是 26 面。
4. 也可按每条边不重复计终点：10+3+10+3=26；不能只数一长一宽。

18；27

1. 若 d 同时整除 a、b，它也整除 a−b；反过来若 d 整除 b 和 a−b，则也整除它们的和 a。因此两组公因数相同。
2. 144−54=90，90−54=36，54−36=18，36−18=18，两数相等，最大公因数为 18。
3. 324−243=81，243−81=162，162−81=81，先得 gcd(324,243)=81。
4. 再求 gcd(81,135)：135−81=54，81−54=27，54−27=27，答案 27。

最大除数 17，余数 4

1. 设除数为 d、余数为 r，则 140=dq₁+r，225=dq₂+r，293=dq₃+r。
2. 相减得 225−140=85、293−225=68，d 必须同时整除 85 和 68。
3. 85=5×17，68=4×17，最大公因数为 17，所以 d 最大可能为 17。
4. 验证：140=17×8+4，225=17×13+4，293=17×17+4，且 0≤4<17。最大值确实可取，余数 4。

故事书 2 本、作文书 3 本，找 52 元；或 4 本、6 本，找 4 元

1. 设每类书花 S 元，则 S 同时是 12 和 8 的正倍数。
2. lcm(12,8)=24，故 S 可为 24、48、72……。两类总花费为 2S。
3. 付 100 元且需要找钱，故 2S<100，即 S<50，只有 S=24、48 两种。
4. S=24 时：故事书 24÷12=2 本，作文书 24÷8=3 本，总花 48 元，找 52 元。
5. S=48 时：故事书 4 本，作文书 6 本，总花 96 元，找 4 元。
6. 两种情况都满足每类花费相等，不能只给其中一种。

1260 人

1. 10=2×5，14=2×7，18=2×3²。
2. 最小公倍数为 2×3²×5×7=630，因此人数是 630 的正倍数。
3. 630 不大于 1000，不能选；下一倍 1260>1000，且没有更小的合适倍数。
4. 验证：1260÷10=126，÷14=90，÷18=70，三种都分完。

4 和 72；或 8 和 36

1. 设两数为 4m、4n，其中 gcd(m,n)=1。
2. 互素时 lcm(4m,4n)=4mn，因此 mn=72÷4=18。
3. 18 的正因数对为 (1,18)、(2,9)、(3,6)。前两对互素；(3,6) 不互素，排除。
4. 还原得 (4,72)、(8,36)。
5. 检查两组最大公因数均为 4，最小公倍数均为 72；交换顺序不另算一组。

可行边长 1、2、5、10 厘米；最少张数方案为边长 10 厘米、8 张

1. 8 分米=80 厘米，长、宽现在同为厘米。
2. 可行边长是 80、10 的正公因数：1、2、5、10 厘米。
3. 若要求张数最少，取最大边长 gcd(80,10)=10 厘米。
4. 长边 80÷10=8 张，宽边 10÷10=1 张，共 8×1=8 张。

48 厘米或 240 厘米

1. 119=7×17，正因数为 1、7、17、119。
2. 不计长宽交换，共两组：1 厘米与 119 厘米，7 厘米与 17 厘米。
3. 周长分别为 (1+119)×2=240 厘米、(7+17)×2=48 厘米。
4. 原题没有给长宽都大于 1 或求最小周长，两个答案都应保留；若求最小才是 48 厘米。

90

1. 设两数为 6m、6n，且 m、n 互素。由最小公倍数 6mn=264，得 mn=44。
2. 44 的无序因数对为 (1,44)、(2,22)、(4,11)；(2,22) 不互素，排除。
3. 合法两数为 (6,264)、(24,66)，和分别为 270、90。
4. 24 与 66 的最大公因数为 6，最小公倍数为 264，所以最小和 90 可以达到。

18

1. 甲同时整除 90、126，所以甲是 gcd(90,126)=18 的因数。
2. 乙同时整除 90、105，所以乙是 15 的因数，不含因子 2，也不能含 3²。
3. 甲乙的最小公倍数 90=2×3²×5 中的 2 和 3²，只能由甲提供，所以甲必须是 18 的倍数。
4. 甲既整除 18 又是 18 的倍数，因此甲=18。
5. 取乙=15、丙=21，三组最小公倍数依次为 90、105、126，验证条件可同时满足。

40 份；每份科技书 6 本、故事书 8 本、练习册 5 本

1. 最多份数=gcd(240,320,200)。
2. 240=2⁴×3×5，320=2⁶×5，200=2³×5²，取共同质因子的最低指数，得 2³×5=40。
3. 每份科技书 240÷40=6 本，故事书 320÷40=8 本，练习册 200÷40=5 本。
4. 40×6=240、40×8=320、40×5=200，全部分完。

甲 5 圈，乙 4 圈

1. 统一为秒：甲 120 秒一圈，乙 150 秒一圈。
2. 同时到起点的最早正时间为 lcm(120,150)=600 秒。
3. 甲跑 600÷120=5 圈，乙跑 600÷150=4 圈。
4. 600 秒=10 分钟，两人均恰好回起点；圈数不能直接用两个时间之差求得。

2160 厘米，即 21.6 米

1. 重合位置每隔 lcm(54,72)=216 厘米出现一次。
2. 一圈由若干个 216 厘米段组成。每段采用含起点、不重复计终点的计数，小明有 216÷54=4 个位置，爸爸有 216÷72=3 个位置。
3. 共同起点重复 1 次，所以每段共有 4+3−1=6 个不同位置。
4. 60÷6=10 段，周长=10×216=2160 厘米=21.6 米。
5. 验证全圈：小明 40 个位置，爸爸 30 个，重合 10 个，40+30−10=60。

8 束；每束百合 3 朵（康乃馨 4 朵）

1. 束数是 24、32 的公因数，最多为 gcd(24,32)=8。
2. 每束百合 24÷8=3 朵，康乃馨 32÷8=4 朵。
3. 每束 7 朵，共 8 束，合计 56 朵，全部用完。

4/7；37

1. (91,52)→(52,39)→(39,13)→(26,13)→(13,13)，最大公因数13，52/91=4/7。
2. (2257,851)→(1406,851)→(851,555)→(555,296)→(296,259)→(259,37)。
3. 继续较大数减37：(222,37)→(185,37)→(148,37)→(111,37)→(74,37)→(37,37)。
4. 所以最大公因数37；2257=37×61，851=37×23，且61与23互素。

第一、第四图，共 2 个，选 B

1. 矩形对角线把它分成两个等面积三角形，所以第一图 1/2 成立。
2. 第二图没有提供五份等面积的依据，不能仅凭块数认定阴影为 2/5。
3. 第三图横向分成三条，条带宽度不同，面积不相等，最下面一条不能按三份中的一份写成 1/3。
4. 第四图涂了内圆的 1/4 和外环的 1/4，相加正好是整个大圆的 1/4。
5. 因此能够由图中结构支持的标注为第一、第四图，共 2 个，选 B。

500/7 米

1. 把 500 米平均分到 7 分钟，每分钟路程为 500÷7=500/7 米。
2. 检验：(500/7)×7=500 米，回到原总路程。
3. 7/500 的单位是分钟/米，回答的是每米需多久，不是本题所问。

23/22

1. 女生=45−23=22 人。
2. 男生占女生的比例=男生人数÷女生人数=23÷22=23/22。
3. 结果大于 1 合理，因为男生比女生多；若问男生占全班才是 23/45。

13/6 小时；27/10 小时

1. 1 小时=60 分钟，130 分钟=130/60=13/6 小时，也可写 2又1/6 小时。
2. 42 分钟=42/60=7/10 小时；加上原有 2 小时，得 27/10 小时，即 2又7/10 小时。
3. 检验：13/6×60=130；27/10×60=162=120+42。

4 个；8/5 千克；1/5

1. 每只桃子数=20÷5=4 个。
2. 每只质量=8÷5=8/5 千克。
3. 占全部比例=1÷5=1/5，也可用 4÷20 验证。
4. 数量与质量有单位，所占比例没有千克或个的单位。

1/3；25/57

1. 总销量=35+30+25=90 支，B 占 30/90=1/3。
2. 三类销售金额分别为 2×35=70、3×30=90、5×25=125 元。
3. 总金额=70+90+125=285 元，C 占 125/285=25/57。

4/9；17/18

1. 总人数=1+0+3+6+8=18。
2. 全部命中是命中 5 次的 8 人，占 8/18=4/9。
3. 不低于 3 次包含 3、4、5 次，共 3+6+8=17 人，占 17/18。

日本总188；韩国金42、铜89；印度银38、总107；13/47；1/10

1. 日本总数=52+67+69=188。韩国金=201×14/67=42，铜=190−42−59=89。
2. 印度银=(111+3)÷3=38，总数=28+38+41=107。
3. 日本金占本国总数=52/188=13/47。
4. 除中国外金牌总数=481−201=280，印度所占=28/280=1/10。

1又13/30 小时；1又3/25 米；4又9/100 千克

1. 86/60=43/30=1又13/30 小时。
2. 112/100=28/25=1又3/25 米。
3. 4090/1000=409/100=4又9/100 千克。
4. 带分数的分数部分应小于1且最简。

1/6

1. 三角形ECD以CD为底，高为矩形的高，因此占矩形面积1/2。
2. EFC与ECD的底EF、ED在同一直线上，从C到这条直线的高相同。
3. EF/ED=1/3，因此EFC面积为ECD的1/3，即矩形的1/2×1/3=1/6。

10米；250米；50又1/5米

1. 第一问50×1/5=10米。
2. 第二问整体=50÷1/5=250米。
3. 第三问增加的是具体1/5米，所以50+1/5=50又1/5米。

40/39小时；39/40公顷

1. 每公顷时间=(5/6)÷(13/16)=(5/6)×(16/13)=40/39小时。
2. 每小时面积=(13/16)÷(5/6)=(13/16)×(6/5)=39/40公顷。
3. 两个单位量数值互为倒数。39/40公顷/小时×5/6小时=13/16公顷。

7/65

1. 设圆面积为15份，则区域①=15×4/15=4份，区域②=15×1/5=3份。
2. 矩形面积=4÷(1/12)=48份；三角形面积=3÷(1/3)=9份。
3. 三个图形面积直接相加，会把每个重叠区域算两次。覆盖面积=48+15+9−4−3=65份。
4. 两处重叠共4+3=7份，所占比例为7/65。

513/50分米；513/500米；156/25小时

1. 10.26=1026/100=513/50分米，也可写10又13/50分米。
2. 分米换米除以10：513/500米。
3. 0.26天=13/50×24=156/25小时。

15/20、51/68

1. 8/12=2/3，与 3/4 不等。
2. 15/20 同除以 5 得 3/4；51/68 同除以 17 也得 3/4。
3. 所以两个分数都要写出。

60/96；20/25；16/12

1. （1）写成 5k/8k，13k=156，k=12，原分数 60/96。
2. （2）写成 4k/5k，20k²=500，k²=25，正整数 k=5，原分数 20/25。
3. （3）写成 4k/3k，分子分母差为 k=4，原分数 16/12。
4. 这里问原分数，应保留还原的分子和分母，不只写约分后的值。

18/29；5/54

1. （1）新值是原值的 (1/2)/3=1/6，原值=3/29×6=18/29。
2. （2）新值是原值的 3÷(1/3)=9 倍，原值=5/6÷9=5/54。
3. 两结果均已最简；把原值按题目倍率变换，能回到给定新值。

第一组最简 7/15、6/37、51/100、125/42；其余 3/7、7/2、3/4、2/5；第二组 2/3、4/11、1/4、2/3、7/8、1/3、3/4

1. 第一组最简的是 7/15、6/37、51/100、125/42，分子大于分母不妨碍最简。
2. 其余：21/49=3/7，28/8=7/2，9/12=3/4，14/35=2/5。
3. 第二组依次为 2/3、4/11、1/4、2/3、7/8、1/3、3/4。
4. 每个结果再检查公因数，例如 28/84 同除以 28 后得 1/3，不能停在 7/21。

（1）1～4；≥5；5的正倍数；6。（2）最简7/3、17/12；整数51/17、8/8、52/13；带分数7/3、9/6、17/12、14/8。（3）2个

1. （1）真分数：a=1、2、3、4；假分数：a≥5；整数：a=5、10、15……；最小带分数取 a=6。
2. （2）最简：7/3、17/12；可化整数的假分数：51/17、8/8、52/13。
3. 可化带分数的是 7/3、9/6、17/12、14/8；8/16 是真分数。
4. （3）假分数但不能化带分数，说明它是整数。x 是4的倍数且小于10，只有4、8，共2个。

（1）大于1；（2）1/6、1/20

1. （1）a×(1/a)=1，要把小于1的正数乘到1，乘数必须大于1，所以选B。
2. （2）ab=1；(a/3)÷(2/b)=(a/3)×(b/2)=ab/6=1/6。
3. (a/5)×(b/4)=ab/20=1/20。

3个

1. 把端点化为12/24、20/24；中间分子为13、14、15、16、17、18、19。
2. 24=2³×3，与24互素的分子既不是2的倍数也不是3的倍数。
3. 筛选得到13、17、19，所以有13/24、17/24、19/24，共3个。

A；3个

1. 依次约分为9/20、1/3、7/17、2/5、6/5。
2. 分母20=2²×5，5仅含5；3和17含其他素因数。
3. 符合的是9/20、18/45、30/25，共3个，选A。

D

1. A按题目所示2的个数不断增加的规律，没有固定循环节。B忽略了有限小数，如1/2=0.5。
2. C从十分位后的23重复，循环节是23。D正确，例如1.333…大于1。

D；约0.25

1. 25/99=0.252525…=0.(25)，括号内25是循环节。
2. 千分位是2，不进位，保留两位小数得0.25。
3. 正确写法25/99≈0.25，对应原卷D。

B

1. 12=2²×3，分子须为3的倍数才能消去分母的3。
2. B中的3、12、18都满足，所得1/4、1、3/2均为有限小数。

447

1. 按题中展开，数字序列为2.23 447 447…，前面的23不属于循环节。
2. 所以循环节为447。

3个

1. 7/21=1/3，2/15最简分母含3，均不能。
2. 1/50、3/40、7/32的最简分母只含2、5，所以共3个。

0.35555…；0.1535353…

1. 0.35555…循环节5；0.1535353…从第二位起循环53。
2. 0.123和3.23232323未写省略号，是有限小数。
3. 按题目给定展开意图，其他两项无固定重复块；仅凭有限前缀与省略号，严格说不能证明任意后续规律。

1、2、4、5、7、8、10

1. 逐个检查1至10；a=1、2、4、5、8、10时，分母只含2、5或为1。
2. a=7时7/7=1，也符合；a=3、6、9时约分后仍含3，不符合。

1.4；0.8；0.(7)，节7；0.(41)，节41

1. 7/5=1.4；12/15=4/5=0.8，两者为有限小数。
2. 7/9=0.(7)，循环节7；41/99=0.(41)，循环节41。
3. 检验：0.(41)×99=41；1.4×5=7。

7/33；11/30；53/165

1. 设x=0.(21)，100x−x=21，所以x=21/99=7/33。
2. 设y=0.3(6)，10y=3.666…，100y=36.666…，90y=33，y=11/30。
3. 设z=0.3(21)，10z=3.212121…，1000z=321.212121…，990z=318，z=53/165。

分别为 0.2、1.5、2又1/3 对应位置

1. 先标定单位长度，整数 0、1、2、3 的间距相同。
2. 1/5 在 0～1 之间，将这一个单位五等分，取第一格，即 0.2 处。
3. 3/2=1又1/2，在 1 与 2 的中点。
4. 7/3=2又1/3，在 2～3 之间三等分后的第一格。
5. 数轴从左到右为 1/5、3/2、7/3，不必强行把所有刻度都画成同一个分母。

3/15<6/25<3/11

1. 3/15=1/5=5/25，因此 3/15<6/25。
2. 比较 6/25 与 3/11：6×11=66，3×25=75，因为 66<75，所以 6/25<3/11。
3. 合并两步，得到 3/15<6/25<3/11。

最大 9/5，最小 13/18

1. 9/5、12/7 大于 1，另外两个小于 1，所以最大只在前两者中、最小只在后两者中。
2. 9/5 与 12/7 的交叉积为 63、60，故 9/5>12/7。
3. 13/18 与 11/15 的交叉积为 195、198，故 13/18<11/15。

n/m>n/(m+a)

1. m+a>m>0，分子同为正数 n，分母较小的 n/m 较大。
2. 也可相减：n/m−n/(m+a)=na/[m(m+a)]>0。

A=12，B=7

1. 比值有意义且大于 0，所以 A、B 都为正。
2. 由 4/7<B/A 得 4A<7B；代入 A=19−B，得 76<11B，即 B>76/11。
3. 由 B/A<5/8 得 8B<5A，代入得 13B<95，即 B<95/13。
4. 76/11 介于 6、7 之间，95/13 介于 7、8 之间，唯一整数 B=7，因此 A=12。
5. 验证：4×12=48<7×7=49，8×7=56<5×12=60。

（1）<；（2）<；（3）<；（4）>；（5）<；（6）7/12<3/5<5/8

1. （1）6/17=24/68<25/68。
2. （2）通分 5/8=45/72、7/9=56/72，所以 5/8<7/9。
3. （3）3/18=1/6=8/48<9/48。
4. （4）正分数分子相同，23<31，所以 7/23>7/31。
5. （5）19/21=1−2/21，31/33=1−2/33。2/21>2/33，所以前者离 1 更远，19/21<31/33。
6. （6）通分为 70/120、75/120、72/120，得到 7/12<3/5<5/8。

A=1/4，B=11/8；A<C<B<D

1. 每小格为 1/8，A=2/8=1/4。
2. B 从 0 数共 8+3=11 格，所以 B=11/8。
3. C 在 0 后第 5 格，D=17/8=2又1/8，在 2 后第 1 格。
4. 数值排序为 2/8<5/8<11/8<17/8，对应 A<C<B<D。分母不能在最后记录时改成别的数。

（1）1又1/2；（2）1/3<10/5<2又1/2<3又3/4

1. （1）2−1又2/3=1/3，4个间隔每格为1/12；B=5/3−2/12=3/2。
2. （2）10/5=2；其余分别在0到1三等分第一点、2到3中点、3到4四等分第三点。
3. 从左至右依次1/3、2、2又1/2、3又3/4；各位置画实点并标值。

<；>

1. （1）左式比6/17小，右式比6/17大，所以左<右。
2. （2）公共因数1又3/25为正，只需比较15/16与13/14。
3. 15×14=210>13×16=208，所以左>右。

C<B<A

1. 设公共结果为t>0，A=(8/7)t，B=(11/12)t，C=(1/3)t。
2. 系数1/3<11/12<8/7，乘同一正数t后顺序不变。

乙

1. 0.6小时=3/5小时=36/60小时，小于37/60小时。
2. 乙先完成，比甲少1/60小时，即1分钟。

2.3(0020304)

1. 所有候选前8位均为30020304，只需比较随后重复的尾部。
2. 把前点移到小数第二位0上，得到2.3(0020304)=2.300203040020304…。
3. 从第1位起循环，下一位3较大；从第3位起循环，尾部020…比002…大；第4、6位起循环尾部2或3较大；第5位尾部030…较大；第7位尾部040…较大；仅第8位循环尾部4也较大。

（1）1/6<0.2<2/9<5/16；（2）1又3/5<1.(60)<1.6(2)<13/8；（3）1/6<0.2<2/7；（4）0.61<4/5<7/8

1. （1）0.1666…<0.2<0.2222…<0.3125，所以1/6<0.2<2/9<5/16。
2. （2）1.6<1.606060…<1.62222…<1.625，所以1又3/5<1.(60)<1.6(2)<13/8。
3. （3）1/6<0.2<2/7；（4）0.61<4/5<7/8。

未修完，还差2/5千米

1. 关系为丙=(甲−乙)+3又3/5，所以乙=甲+3又3/5−丙。
2. 乙=21/2+18/5−29/4=(210+72−145)/20=137/20=6又17/20千米。
3. 合计=21/2+137/20+29/4=492/20=123/5=24又3/5千米。
4. 25−24又3/5=2/5千米，因此尚未修完。

15/16；36又255/256

1. 1/2=1−1/2，1/4=1/2−1/4，后续同理。
2. （1）中间项抵消，仅余1−1/16=15/16。
3. （2）整数和1+2+…+8=36；分数和1−1/256=255/256。
4. 合计36又255/256。

111109；1107又1/12

1. （1）五个整数之和111105；五个4/5之和4，总和111109。
2. （2）整数部分9+99+999=1107；四个1/96之和1/24，再加1/24得1/12。
3. 所以第二式为1107又1/12。

31/60；1/5；5/32；19/24；4/3；4/3；29/42；5/6

1. （1）28/60+3/60=31/60。（2）3/15=1/5。
2. （3）(19+6−20)/32=5/32。（4）(9−6+16)/24=19/24。
3. （5）先合并19/22与3/22得1，再加1/3得4/3。
4. （6）(4+9−5)/6=8/6=4/3。
5. （7）(34−14+9)/42=29/42。分母用42可减少计算量。
6. （8）(16+9−5)/24=20/24=5/6。
7. 每个结果检查分子、分母最大公因数是否为1。

8/21；43/85

1. （1）1−1/3−2/7=(21−7−6)/21=8/21。
2. （2）1−5/17−1/5=(85−25−17)/85=43/85。
3. 各部分与剩余相加应等于1。

2千克；11/4千米；71/42千克

1. （1）第二天5/6+1/3=7/6，两天5/6+7/6=2千克。
2. （2）次月3/4+3/5=27/20；全长15/20+27/20+13/20=55/20=11/4千米。
3. （3）第二根11/12−1/7=(77−12)/84=65/84；总重77/84+65/84=142/84=71/42千克。

（1）B；（2）2/7

1. （1）A按乘法分配律成立；C把25/26写成1−1/26后成立；D两项除数相同，等于共同乘1/25，成立。
2. B左边7÷(106/15)=105/106，右边1+105=106，二者不等，所以选B。
3. （2）设方框为x，正确式为6x/7+12/7，另一式为6x/7+14/7。
4. 两式相差2/7，后一个更大，与x无关。

13/24；2；116；15/2；2/5；80

1. （1）先算 1/3−1/6=1/6，再加 3/8，得 4/24+9/24=13/24。
2. （2）原式=(15又7/29−3又7/29)−(5又3/8+4又5/8)=12−10=2。移项分组时两个减号都保留。
3. （3）16×15=240，分配得 (5/12)×240+(1/15)×240=100+16=116。
4. （4）带分数先化假分数：(25/7)×(14/5)÷(4/3)=(25/7)×(14/5)×(3/4)=10×3/4=15/2=7又1/2。
5. （5）0.4=2/5，÷3 等于 ×1/3。提取 1/3，得 (4/5+2/5)×1/3=2/5。
6. （6）先算括号：1/8+5/6=23/24，乘 6/23 得 1/4；20÷1/4=80。

1

1. 361=362−1，分子=362+548×(362−1)。
2. 分配后为 362×548−548+362=362×548−186，恰好等于分母。
3. 分母为 198190，不为 0，所以分数值为 1。

20/21

1. 202=2×101、2121=21×101，所以 202/2121=2/21。
2. 20202=2×10101、212121=21×10101，所以该项也为 2/21。
3. 13131313=13×1010101、21212121=21×1010101，所以末项为 13/21。
4. 原式=(1+2+2+2+13)/21=20/21。两次出现的 202/2121 都要保留。

7/3；1/6；20；10

1. （1）39与13约去13，得7/3。
2. （2）(5×3)/(9×10)=15/90=1/6。
3. （3）带分数2又2/5=12/5，原式35×12/5×5/21=35×12/21=20。
4. （4）36÷12=3，所以原式5×3×2/3=10。

8又2/17；541/542

1. （1）73又1/17=(73×17+1)/17=1242/17；除以9得1242/153=138/17=8又2/17。
2. （2）除数367+367/541=367×(1+1/541)=367×542/541。
3. 因此367÷[367×542/541]=541/542。

6/169；3/5；2

1. （1）6/13×1/13=6/169。
2. （2）12/25×3/2×5/6=3/5。
3. （3）内括号5/6−3/4=1/12；中括号4/9÷1/12=4/9×12=16/3。
4. 最后3/8×16/3=2。

3/10；5/6；面积÷长=面积×长的倒数

1. 设原面积为3/5、长为2，则宽=3/5÷2。
2. 保持长2不变，把面积扩大为1，新宽=1÷2=1/2；此时长与宽互为倒数。
3. 原面积是新面积的3/5，原宽也是新宽的3/5，所以原宽=(3/5)×(1/2)=3/10。
4. 两种计算求同一条宽，故3/5÷2=3/5×1/2。
5. 同理面积2/3、长4/5，单位面积时宽为5/4；原宽=2/3×5/4=5/6。

15/4

1. 设某数为x，已知关系为(3/2)÷x=3/5。
2. 所以x=(3/2)÷(3/5)=5/2。
3. 所求x÷2/3=5/2×3/2=15/4。

104

1. 分子括号16+2/7+2/9=16+32/63=(1008+32)/63=1040/63。
2. 分母括号5/7−5/9=(45−35)/63=10/63。
3. 1040/63÷10/63=1040/63×63/10=104。

12/10^1000；小数点后998个0再写12

1. 第一个因数小数点后有499个0和24，共501位，等于24/10^501。
2. 第二个因数小数点后499个0和5，共500位，等于5/10^500。
3. 积=120/10^1001=12/10^1000。写成小数时，小数点后先有998个0，再写12。
4. 若另行约定500个0只数小数点后，则积为12/10^1002；这不是本题采用的含整数位计数口径。

350 页

1. 两周均以整本书为单位 1，已读分率为 3/7+2/5=15/35+14/35=29/35。
2. 剩余分率=1−29/35=6/35。60 页对应的是这 6/35。
3. 总页数=60÷(6/35)=60×35/6=350 页。
4. 验证：第一周 150 页，第二周 140 页，剩余 60 页，总计 350 页。

全长 60 米，剩余 40 米

1. 剩余 2/3，说明两次共修全长的 1−2/3=1/3。
2. 第二次的 12 米对应分率 1/3−2/15=5/15−2/15=1/5。
3. 全长=12÷(1/5)=60 米。
4. 剩余=60×2/3=40 米。验证先修 8 米，再修 12 米，合修 20 米，剩 40 米。

12/5 小时，即 2 小时 24 分钟

1. 设全程为 1，甲每小时走 1/6，乙每小时走 1/4。
2. 每小时共同缩短距离 1/6+1/4=5/12。
3. 相遇时间=1÷(5/12)=12/5 小时=2又2/5 小时。
4. 2/5 小时=24 分钟，所以是 2 小时 24 分钟。验证相遇时甲走 2/5 全程，乙走 3/5，合计 1。

285棵；450元

1. （1）女生=160×3/4+5=125棵，合计160+125=285棵。
2. （2）六二班=500×4/5=400元，六三班=400×9/8=450元。
3. 第二问的9/8以六二班为基准，不能直接以500元为基准。

一样多，各1杯

1. 牛奶只在开始时有1杯，以后没有补奶；最后全部喝完，所以喝奶1杯。
2. 每次加水的体积等于刚喝掉的体积，合计1/6+1/3+1/2=1杯。
3. 最后也把加入的水全部喝完，所以两者一样多。

a>b

1. 涨价后是a×6/5。
2. 再降价后b=a×6/5×4/5=24a/25。
3. 因为商品原价a>0，所以b<a；选A。

208人（D）

1. 若300人都按1/20增加，应增加15人，比实际多2人。
2. 每名男生的增长比例比1/20少1/20−1/25=1/100。
3. 所以原男生人数2÷1/100=200人；原女生100人。
4. 本学期男生200×26/25=208人。检验男增8、女增5，共增13。

12年

1. 年龄差36−8=28岁。
2. 届时父亲12份、儿子5份，差7份，所以每份28÷7=4岁。
3. 儿子届时5×4=20岁，需要20−8=12年。
4. 检验父亲48岁，20/48=5/12。

35；4米

1. （1）原数24÷0.6=40，它的7/8为40×7/8=35。
2. （2）已知4/5米这段占全长1−4/5=1/5，所以全长4/5÷1/5=4米。
3. 第二问一个4/5带长度单位，另一个4/5表示比例，不能互换。

C；50吨

1. 剩余占1−2/5=3/5；剩余比运走多3/5−2/5=1/5。
2. 10吨对应总量的1/5，总量=10÷1/5=50吨，选C。
3. 检验：运走20吨，剩余30吨，恰好多10吨。

C；2/3

1. 把小跃的数量看成1，小鱼是1+1/3=4/3。
2. 小龙是小鱼的5/4，即小跃的4/3×5/4=5/3。
3. 小龙比小跃多5/3−1=2/3，选C。也可设小跃12份、小鱼16份、小龙20份，差8/12=2/3。

C

1. 60盆是菊花数量，是这里的单位1。牡丹=菊花×(1+3/5)，表示牡丹比菊花多3/5，选C。
2. 牡丹60×8/5=96盆，差36盆；36÷60=3/5。
3. 反向比较时，菊花比牡丹少36÷96=3/8。

7米；21/4米（5又1/4米）

1. 第一段占全长1−7/8=1/8。
2. 全长=(7/8)÷(1/8)=7米。
3. 第二段长7×7/8=49/8米；比第一段长49/8−7/8=42/8=21/4米。
4. 检验两段和7/8+49/8=7米。

60厘米

1. 设水深h厘米。三棒浸水比例依次1/4、3/7、3/5。
2. 棒长依次h÷(1/4)=4h，h÷(3/7)=7h/3，h÷(3/5)=5h/3。
3. 长度和(4+7/3+5/3)h=8h=480，得h=60厘米。
4. 检验三棒长240、140、100厘米，浸水长都是60厘米，和为480厘米。

丙最快；丙>甲>乙

1. 设丙的速度为36份，则乙为36×(1−1/6)=30份。
2. 甲为30×(1+1/6)=35份。
3. 36>35>30，所以丙>甲>乙，丙最快。

0.5小时（30分钟）

1. 第二天=3×(1+1/3)=4小时，也可列3+3×1/3。
2. 第三天=4×3/4=3小时。
3. 第四天=10.5−3−4−3=0.5小时，即30分钟。

32份

1. 36份对应王师傅订单的9/10，所以王师傅有36÷(9/10)=40份。
2. 刘师傅有40×4/5=32份。
3. 检验：40×9/10=36，32÷40=4/5。

45千克

1. 设女生人数为4份，则男生为5份，共9份。设男生平均体重x千克，则女生平均体重6x/5千克。
2. 每组5名男生、4名女生的总重量为5x+4×6x/5=49x/5。
3. 平均体重=(49x/5)÷9=49x/45=49，得x=45千克。
4. 检验女生平均54千克，(5×45+4×54)÷9=49千克。

11/5天（2又1/5天）

1. 甲每天完成1/5，乙每天完成1/4。合做1天完成1/5+1/4=9/20。
2. 剩余1−9/20=11/20，由乙队完成，需要(11/20)÷(1/4)=11/5天。
3. 这只是乙队后续单做的时间，不包含已合做的1天。检验9/20+(11/5)×(1/4)=1。

69/4吨（17又1/4吨）

1. 甲剩18.75−4.5=14.25=57/4吨。
2. 乙=(57/4)÷(19/23)=57/4×23/19=69/4吨。
3. 检验69/4×19/23=57/4。

6/11

1. 设原分子 a、分母 b，则 (a+2)/b=4/7，a/(b−2)=14/25。
2. 交叉相乘得 7a+14=4b，25a=14b−28。
3. 第一式乘 7：49a+98=28b；第二式乘 2：50a+56=28b，相减得 a=42。
4. b=(7×42+14)/4=77，因此原分数 42/77=6/11。
5. 检验：44/77=4/7，42/75=14/25。

7/18

1. 设分数为 a/b，两式相减得 2/b=4/9−1/3=1/9。
2. 因此 b=18；由 (a−1)/18=1/3，得 a=7。
3. 7 与 18 互素，答案为 7/18；8/18=4/9、6/18=1/3。

13/49

1. 变化后分子、分母可写成 2k、7k，原来为 2k+1、7k+7。
2. 两者之和 9k+8=62，得 k=6。
3. 原分数为 13/49，已经最简。
4. 检验：13+49=62，(13−1)/(49−7)=12/42=2/7。

2/3；3又17/28

1. 先化简定义：m☆n=m−n+1。
2. （1）29/6−31/6+1=2/3。
3. （2）括号内99/14−3/28+1=(198−3+28)/28=223/28。
4. 外层74/7−223/28+1=(296−223+28)/28=101/28=3又17/28。

1/2或53/24

1. 否则分支：7/30+4/15=1/2，x+1/2=1，所以x=1/2。
2. 检验1/2≤3/5，确实走否则分支。
3. 大于分支：5/6+3/8=29/24，x−29/24=1，所以x=53/24。
4. 检验53/24>3/5，确实走大于分支。
5. 两个输入都能输出1，均须保留。

1又3/5

1. 设整数部分k、分数部分f，则k+4f=17/5，k+7f=26/5。
2. 相减3f=9/5，得f=3/5。
3. 代回k=17/5−12/5=1，因此原数1又3/5。
4. 检验1+4×3/5=17/5；1+7×3/5=26/5。

1/8

1. 把a=5/8、b=5/6代入，得到(5/8×1/2)÷(5/6÷1/3)。
2. 左括号5/16；右括号5/6×3=5/2。
3. 5/16÷5/2=5/16×2/5=1/8。

175/16斗（10又15/16斗）

1. 三关的留下比例依次为2/3、4/5、6/7，最后剩原来的(2/3)×(4/5)×(6/7)=16/35。
2. 原来带米5÷(16/35)=175/16斗，即10又15/16斗。
3. 也可逆推：过内关前5÷(6/7)=35/6斗，过中关前(35/6)÷(4/5)=175/24斗，过外关前(175/24)÷(2/3)=175/16斗。
4. 正向验算：(175/16)×(2/3)×(4/5)×(6/7)=5斗。每个取走比例的基准不同，不能直接相加减。

（1）59；（2）3168、8514

1. （1）5+4=8+1=9，四个数字不同且非 0，5841 满足定义。5841=99×59，所以 K(5841)=59。
2. （2）记 N=1000a+100b+10c+d。由定义 c=9−a、d=9−b，所以 a、b 都在 1～8。
3. N=990a+99b+99=99(10a+b+1)，因此 K(N)=10a+b+1。
4. 换位后 N′ 的数字依次为 c、d、a、b，同理 K(N′)=10c+d+1=100−10a−b=101−K(N)。
5. 3K(N)+2K(N′)=K(N)+202。按除以 9 的余数化简，K(N)+202 与 a+b+5 同余，故 a+b≡4（mod 9）。在可能范围内 a+b=4 或 13。
6. N 为偶数，即 d=9−b 为偶数，所以 b 是奇数。又 a≥b。
7. a+b=4：b=1 时 a=3；b=3 时 a=1 不满足 a≥b。因此得 N=3168，四位互不相同。
8. a+b=13：b=1、3 时 a 超过 8；b=5 时 a=8；b=7 时 a=6 不满足 a≥b。因此得 N=8514，四位互不相同。
9. 验证：3168 的 K 为 32，N′=6831 的 K 为 69，3×32+2×69=234=9×26；8514 的 K 为 86，N′=1485 的 K 为 15，3×86+2×15=288=9×32。

（1）4/3、1/17；（2）16

1. 12 的真因数为 1、2、3、4、6，和为 16，指标 16/12=4/3；17 是素数，真因数只有 1，指标为 1/17。
2. 11、13、17、19 的指标分别为 1/11、1/13、1/17、1/19，距离 1 都大于 9/10。
3. 其余指标：12 为 4/3，14 为 (1+2+7)/14=5/7，15 为 (1+3+5)/15=3/5，16 为 (1+2+4+8)/16=15/16，18 为 (1+2+3+6+9)/18=7/6。
4. 这些指标离 1 的距离分别为 1/3、2/7、2/5、1/16、1/6，最小为 1/16。
5. 因此区间内 16 最完美；指标超过 1 也要按离 1 的距离比较。

2026/2027

1. 通分可得 1/n−1/(n+1)=[(n+1)−n]/[n(n+1)]=1/[n(n+1)]。
2. 第一项 1/2=1/(1×2)，也符合规律。
3. 原和=(1−1/2)+(1/2−1/3)+(1/3−1/4)+…+(1/2026−1/2027)。
4. 中间各项成对抵消，只剩 1−1/2027=2026/2027。

（1）100；（2）220/21

1. （1）分母里的各分母依次为 10×1×2、10×2×3、10×3×4、10×4×5……10×9×10。
2. 小分数之和=(1/10)Σ[1/n−1/(n+1)]（n=1～9）=(1/10)(1−1/10)=9/100。
3. 整个式子还要用 9 除以这一个和：9÷(9/100)=100。
4. （2）对第 n 项，(2n)²=(2n−1)(2n+1)+1，所以每项等于 1+1/[(2n−1)(2n+1)]。
5. n 从 1 到 10，共有 10 个整数 1，不能在裂项时漏掉。
6. 余下分数 1/[(2n−1)(2n+1)]=(1/2)[1/(2n−1)−1/(2n+1)]。
7. 抵消后总和=10+(1/2)(1−1/21)=10+10/21=220/21。

101

1. 共有 2044−2025+1=20 项。每项不超过 1/2025 且并非都相等，所以 A<20/2025<1/101，得 1/A>101。
2. 为证明 1/A<102，需要证明 A>1/102。将首尾配对：2025 与 2044、2026 与 2043……共 10 对，每对分母和为 4069。
3. 对正数 x、y，1/x+1/y−4/(x+y)=(x−y)²/[xy(x+y)]≥0。故每对倒数和至少为 4/4069。
4. A≥40/4069>1/102，因为 40×102=4080>4069。因此 1/A<102。
5. 合并 101<1/A<102，整数部分为 101。粗界 101.25<1/A<102.2 本身不足以确定答案。

1/38

1. 共有 25×3+1=76 队。
2. 淘汰赛只剩冠军，需淘汰 75 队。每场淘汰 1 队，轮空不淘汰队伍，所以 N=75。
3. 单循环每队与另 75 队各比赛一次，76×75 把每场算了两次，因此 M=76×75÷2=2850。
4. N/M=75/2850=1/38。

404/99

1. 各项分别为12/99、23/99、…、89/99，共8项。
2. 分子和=(12+89)×8÷2=404。
3. 和为404/99=4又8/99=4.(08)。可保留最简分数404/99。

（1）1/8+1/56；（2）60、75、240；（3）Σ(k=1…2024)1/3ᵏ+1/(2×3²⁰²⁴)

1. （1）1/7=8/56=7/56+1/56=1/8+1/56。
2. （2）不妨 m<n，则 1/m<4/15<2/m，所以 15/4<m<15/2，m 只能为 4、5、6、7。
3. 由 4mn=15(m+n)，得 n=15m/(4m−15)。逐一代入得 n=60、15、10、105/13；最后一个不是整数，排除。
4. 合法无序对是 (4,60)、(5,15)、(6,10)，乘积分别为 240、75、60，没有其他情况。
5. （3）使用 1/(2×3ᵏ⁻¹)=1/3ᵏ+1/(2×3ᵏ)。从 k=1 开始，每次把最后一项按此式再拆开。
6. 重复 2024 次得到 1/2=1/3+1/3²+…+1/3²⁰²⁴+1/(2×3²⁰²⁴)。前面 2024 项加最后 1 项，共 2025 项；分母递增且最后分母不等于任何 3 的幂。

a=2、b=4；或a=4、b=2

1. 取a=2、b=4，代入得1/2+1/4=3/4，符合条件。
2. 若要求所有解，不妨先设a≤b。由1/a<3/4≤2/a，得4/3<a≤8/3，因此a只能是2。
3. 于是1/b=1/4，b=4。交换位置得到另一有序解。