参考答案：第（1）问 110；第（2）问最小值 4435。

（1）先按定义轮换，不能将四项都当成 1234。

$1234\longrightarrow2341\longrightarrow3412\longrightarrow4123。$

$G(1234)=\frac{1234+2341+3412+4123}{101} =\frac{11110}{101}=\boxed{110}。$

（2）第一步：找出 G(n) 的简便表达式。

在四个轮换数中，a、b、c、d 每个数字都恰好在千、百、十、个位各出现一次，因此：

$n+n_1+n_2+n_3=(1000+100+10+1)(a+b+c+d) =1111(a+b+c+d)。$

又因为 1111=101×11，所以：

$G(n)=11(a+b+c+d)，\qquad \frac{G(n)}{11}=a+b+c+d。$

故 G(k)/11=t² 表示 k 的四位数字之和是一个正整数的平方 。

第二步：正确读出 k 的各位数字。

$k=1000x+10y+z+3400 =1000(x+3)+400+10y+z。$

所以千位是 x+3，百位是 4，十位是 y，个位是 z。由于 k 是四位数，x 是非零数字，故 1≤x≤6。

为使 k 尽量小，先尝试最小的 x=1。此时：

$k=4400+10y+z，\qquad\text{各位数字之和}=8+y+z。$

y、z 在 1～9 之间，所以 10≤8+y+z≤26，这个范围内的完全平方数只有 16、25。因此：

$y+z=8\quad\text{或}\quad y+z=17。$

第三步：使用除以 11 余 2 的条件。

4400=11×400，且 10y+z=11y+(z−y)。因此 k 除以 11 余 2，等价于 z−y 与 2 相差 11 的整数倍。

因为 −8≤z−y≤8，在此范围内与 2 相差 11 的整数倍的数只有 2，所以：

$z-y=2。$

结合 y+z=8，相加得到 2z=10，即 z=5，y=3。

若 y+z=17，则相加得到 2z=19，没有整数解，舍去。

因此在 x=1 时唯一可行的是 y=3、z=5：

$k=1000\times1+10\times3+5+3400=\boxed{4435}。$

第四步：证明这是最小值。

x=1 已经得到可行解；当 x≥2 时，k 的千位至少是 5，最小也不小于 5411，必然大于 4435。因此无需再逐个尝试更大的 x。

第五步：代回全部条件验证。

方法提醒： x 不是 k 的千位，千位是 x+3；轮换得到的是不同的数字排列；判断“除以 11 余 2”时，要注意交错位相减的方向，不能把余数 2 误算成 9。